caos
Il caos, nel linguaggio
della fisica e della matematica moderna, identifica la situazione di
impossibilità di stimare a priori con certezza il valore futuro delle
grandezze che caratterizzano un sistema fisico in evoluzione.
L'accuratezza finita della conoscenza dello stato iniziale del sistema
determina l'impredicibilità, ossia l'impossibilità di determinare, dopo
un tempo finito, lo stato futuro di esso. Sebbene l'evoluzione dinamica
sembri assumere un aspetto casuale, l'esistenza di leggi
deterministiche non lineari alla base di questi sistemi, ne consentono
lo studio e la classificazione tramite l'apparato matematico. Il caos
si presenta essenzialmente sotto due forme. Nei sistemi conservativi,
di cui quelli hamiltoniani sono un importante sottoinsieme, il volume
nello spazio delle fasi si conserva nel corso dell'evoluzione temporale
del sistema. Nei sistemi dissipativi, il volume decresce a causa di
processi irreversibili, come per es. la viscosità o la conduzione
termica. Per ambedue le classi di sistemi il caos è il risultato di
successivi allungamenti e piegamenti degli elementi di volume dello
spazio delle fasi. Il Sistema solare ha un comportamento caotico ed è
un esempio di caos conservativo, più precisamente hamiltoniano, la
turbolenza di un fluido viscoso come l'atmosfera, anche se
infinitesima, costituisce un esempio di caos dissipativo.
L'insieme delle traiettorie di un sistema dinamico caotico evolve verso
una struttura frattale chiamata attrattore. Lo studio dell'attrattore
consente una quantificazione dell'orizzonte di predicibilità del
sistema, ossia del limite spazio-temporale di predicibilità del
sistema. L'orbita di un sistema caotico dissipativo converge a un
sottoinsieme dello spazio delle fasi di volume nullo. A causa dei
successivi piegamenti e allungamenti gli attrattori di un sistema
caotico dissipativo hanno una struttura infinito-foliata che è
all'origine della denominazione di attrattore strano data a questi
oggetti.
Nel caso hamiltoniano l'azione del caos risulta in una decomposizione
dell'intero spazio delle fasi in una struttura simile all'insieme di
Cantor, con zone di regolarità e stocasticità dei moti. Una
applicazione del caos hamiltoniano è legata al problema della
formazione e della configurazione orbitale dei sistemi solari. La
scoperta di sistemi planetari extrasolari, in cui le distanze, in unità
astronomiche, di pianeti fluidi giganti rispetto alla stella risultano
minori rispetto a quelle del nostro sistema, dove Giove e Saturno sono
posizionati nella parte periferica in relazione ai pianeti terrestri
(Mercurio, Venere, Terra e Marte), ha consentito la realizzazione di
simulazioni matematiche nelle quali la caoticità gioca un ruolo
importante nei meccanismi di migrazione planetaria e di eccentricità
delle orbite.
Il concetto di caos trova vaste applicazioni in campo scientifico,
soprattutto nello studio dei sistemi complessi. Ciò che accomuna un
sistema complesso a un sistema caotico è la non linearità. In questa
visione di complessità i sistemi caotici sono considerati un
sottoinsieme dei sistemi complessi: la complessità si manifesta infatti
sulla soglia della caoticità.
L'ipotesi che sistemi deterministici possano sviluppare comportamenti
impredicibili fu teorizzata per la prima volta dal matematico francese
H. Poincarè già nello studio del problema dei tre corpi (1890). Aspetti
teorici furono inoltre trattati da J. Hadamard (1898) nell'analisi del
comportamento dei flussi geodetici su varietà compatte a curvatura
negativa: per es., una sfera con due manici. L'avvento della teoria
della relatività e della meccanica quantistica agli inizi del secolo
scorso relegarono tale campo a un ambito ristretto della meccanica
classica, noto come teoria dei sistemi dinamici. Le basi di questa
disciplina furono maggiormente sviluppate dalla scuola sovietica di
A.N. Kolmogorov, di cui si ricorda il teorema KAM (dalle iniziali di
Kolmogorov, Arnol'd, Moser) e la teoria iperbolica, insieme a quella
americana con i lavori di G. Birkhoff sulla teoria ergodica (1932).
L'elevato grado di astrattezza della teoria dei sistemi dinamici, culla
tra l'altro della teoria della complessità, contribuì inoltre
all'isolamento di tali idee nell'ambito della fisica teorica e nel
resto della ricerca scientifica.
L'importanza della teoria del caos fu pienamente riscoperta e
apprezzata agli inizi degli anni Settanta, grazie ai precedenti lavori
di E. Lorenz (1963), già allievo di Birkhoff, su un sistema dinamico
simulante la termoconvezione. D. Ruelle e F. Takens (1971)
contribuirono a esportare il concetto di caos nel campo della
turbolenza e quindi della fisica teorica. Il premio Nobel per la chmica
I. Prigogine (1977) estese i concetti derivanti dal limite di
predicibilità allo studio dei sistemi in non equilibrio, gettando le
fondamenta della teoria dei sistemi complessi e dei fenomeni di
autoorganizzazione.
In campo puramente matematico, l'ausilio del computer ha dato inoltre
spunto alla nascita di ciò che D. Hofstadter ha definito matematica
sperimentale, ovvero la simulazione numerica di sistemi dinamici basati
su semplici leggi di reiterazione. Un risultato interessante in questo
campo è stata la scoperta del numero universale di Feigenbaum (1975),
costante numerica supposta trascendentale al pari del numero π e del
numero e di Nepero. In tale ambito è stata inoltre sviluppata la teoria
dei frattali, oggetti geometrici che godono della proprietà di
autosimilarità a ogni scala e di dimensione geometrica non intera, a
opera di B. Mandelbrot (1975). Molti dei risultati raggiunti da
Mandelbrot si basano sull'utilizzo del calcolatore nello studio delle
reiterazioni nel campo dei numeri complessi, avviato negli anni Venti
da parte dei matematici francesi G. Julia e P. Fatou. Gli studi svolti
nell'ultima parte del secolo scorso hanno mostrato una vasta
applicabilità dei concetti derivanti da tali teorie a diverse
discipline, dall'economia alla chimica, dall'ingegneria alla biologia,
segnando inoltre risvolti interessanti anche in campo artistico (per
es., la Computer Art) e filosofico, ed elevando in tal modo il caos al
rango di scienza multidisciplinare. Un sistema deterministico è
rappresentato da uno stato iniziale e da un insieme di leggi
matematiche, spesso non lineari, che ne determinano l'evoluzione
temporale, denominata traiettoria, nell'insieme delle configurazioni
possibili, detto spazio delle fasi. Tali leggi matematiche sono
dipendenti dalla variabile temporale e dalla dimensionalità dello
spazio delle fasi. Nel caso di sistemi discreti nel tempo esse sono
rappresentate da equazioni algebriche del tipo
formula
dette mappe iterative, dove f è una generica funzione, K un parametro e
n l'indice temporale. Per sistemi a variabile temporale continua, la
dinamica viene descritta da equazioni differenziali ordinarie nel caso
di spazio delle fasi finito, o alle derivate parziali nel caso opposto.
Lo studio dei sistemi caotici a dimensione infinita, detto anche caos
spazio-temporale, è un campo di ricerca molto attivo; un esempio è il
problema della turbolenza in fluidodinamica.
Un aspetto interessante dei sistemi a dimensione infinita è che molte
equazioni non lineari sono state risolte analiticamente grazie alle
notevoli proprietà di simmetria di queste ultime. Tali soluzioni sono
descritte da oggetti matematici come i solitoni in idrodinamica, onde
solitarie con proprietà dinamiche corpuscolari, e da corrispettive
generalizzazioni relativistiche quali il concetto di instantone e
monopolo nelle teorie di gauge: la relazione tra caos spazio-temporale
e rottura di simmetria è argomento di particolare interesse in fisica
teorica, in quanto le teorie di campo che descrivono le forze
fondamentali, a esclusione dell'elettromagnetismo, sono non lineari. In
genere, la difficoltà di tali studi è dovuta principalmente alle
strutture metriche degli spazi a dimensione infinita e molti risultati
sono riferiti ai sistemi originati da troncamenti in spazi delle fasi
finiti. Lo studio delle mappe è a sua volta una potente semplificazione
per ricercare il comportamento caotico in tali sistemi finiti.
Il numero K, detto parametro di controllo, è tale che la sua
variabilità definisce i confini tra moti regolari e andamenti caotici.
Generalmente esso può essere associabile a un elemento forzante esterno
al sistema.
Per i sistemi conservativi vale il teorema di ricorrenza di Poincarè,
che implica una probabilità non nulla per una traiettoria di passare in
un intorno infinitesimamente prossimo a un suo precedente passaggio. È
interessante notare che tutte le leggi della fisica, dal moto
newtoniano di una particella alle teorie quantistiche di campo, sono
riconducibili a sistemi hamiltoniani che notoriamente conservano
l'energia. Un sistema hamiltoniano è detto integrabile se è possibile
risolverne analiticamente le equazioni del moto. Le traiettorie di un
sistema integrabile sono rappresentate da eliche, chiuse o aperte,
confinate su uno spazio periodico, definito in una geometria toroidale.
In un sistema energeticamente confinato, proprietà consueta nella
rappresentazione matematica dei fenomeni naturali, la variazione della
distanza tra due traiettorie, inizialmente vicine, caratterizza durante
il loro moto il comportamento dinamico del sistema stesso. La misura
della separazione delle orbite è definita esponente di Lyapunov.
Uno dei paradigmi della moderna teoria dei sistemi caotici finiti è che
l'instabilità locale delle traiettorie influenzi la dinamica globale
del sistema generandone un comportamento stocastico. Tale
comportamento, definito iperbolicità, deriva dalla non linearità delle
leggi che regolano la dinamica del sistema, che determina una marcata
dipendenza del moto dalle condizioni iniziali. Un punto è definito
iperbolico se il suo intorno è simile alla superficie di una sella, in
cui esiste una decomposizione di aree di attrazione e repulsione
rispetto al centro. L'iperbolicità è detta uniforme se vale in ogni
punto dello spazio generato dalle traiettorie; altrimenti si definisce
non uniforme. Il grado di iperbolicità genera quindi una gerarchia dei
sistemi caotici. Sistemi dissipativi iperbolici danno luogo al caos
dissipativo.
Un esempio di caos hamiltoniano, dovuto al matematico russo B. Chirikov
(1979), è la mappa standard
formula
dove xn e yn sono le grandezze che definiscono il sistema all'istante
n-esimo; esso ha applicazioni in vari campi della fisica, quali la
teoria dei plasma, la fisica degli acceleratori di particelle e la
meccanica celeste. Lo spazio delle fasi associato a questo sistema
dinamico deterministico è il toro [0,2π]×[0,2π]. Per qualsiasi valore
del parametro di controllo K ogni porzione di area del toro viene
conservata; inoltre, per K=0 la coordinata x è un'invariante del moto,
la traiettoria nello spazio delle fasi si riduce a un'elica chiusa che
avvolge il toro e il sistema è integrabile. Al variare del parametro di
controllo, la traiettoria ricopre in modo stocastico e denso una
frazione dell'intera area, delimitata da isole precluse alla dinamica
del sistema (fig. 1). Tale comportamento, riscontrabile per un
qualunque insieme di condizioni iniziali, è dovuto alle proprietà di
iperbolicità e di ricorrenza di Poincarè, e mostra una struttura di
autosimilarità a tutte le scale (fig. 2). L'intero spazio delle fasi
assume quindi una struttura simile a un frattale, con le proprietà di
un insieme di Cantor, ma di dimensione di Hausdorff intera:
tecnicamente esso è definito fat fractal. Aree di completa caoticità, o
mare stocastico, si alternano a isole di moti regolari. L'aspetto
peculiare della convivenza tra regimi regolari e comportamenti
stocastici nel caos hamiltoniano ha importanti connessioni con i
concetti fondamentali della meccanica statistica. La presenza di isole
di regolarità immerse nel mare stocastico determina l'inapplicabilità
del teorema ergodico all'intero spazio delle fasi. Le traiettorie nel
mare caotico non possono mai approdare su isole di moto regolare e
viceversa, definendo quindi una condizione di pseudoergodicità.
Completamente diverso è il caos dissipativo, di cui un tipico esempio è
la seguente mappa di Henon (1976):
formula
Lo spazio delle fasi di questo sistema può essere la parte di piano
[0,1]×[0,1].
Per alcuni valori di K1 e K2, l'assenza di invarianti produce in questo
caso una dinamica attraverso un processo di simultanea contrazione e
dilatazione dell'intero spazio delle fasi verso una struttura frattale
definita attrattore strano. Per l'iperbolicità, in questo caso non
uniforme, del sistema, un generico punto all'interno dell'attrattore
può essere considerato come l'intersezione di una direzione (stabile)
dello spazio che si contrae e di una (instabile) che si espande, in
modo da produrre un'estrema dipendenza dalle condizioni iniziali. Gli
aspetti propriamente fisici e dinamici del sistema vengono quindi a
essere espressi dalle proprietà geometriche e topologiche
dell'attrattore. Uno dei risultati più interessanti è che la frequenza
di visita di una traiettoria non è uniformemente distribuita
sull'attrattore (fig. 3); si può in alcuni casi definire una misura
invariante di probabilità, detta misura SRB (dalle iniziali di Sinai,
Ruelle, Bowen) sul suo supporto frattale. In tal caso la sola
dimensione di Hausdorff non è sufficiente a definire la struttura
dell'oggetto; essa diventa parte di uno spettro di dimensioni, dette di
Rènyi, e l'attrattore assume le caratteristiche di un multifrattale. Ne
consegue che sebbene impredicibile, il sistema ammette una buona
descrizione statistica del comportamento asintotico delle traiettorie
sull'attrattore.
Il problema dell'esistenza e unicità di queste funzioni di probabilità
è ancora uno dei temi aperti nella teoria dei sistemi dinamici, basti
pensare che solo nel 1993 ne è stata dimostrata l'esistenza per la
mappa di Henon. Lo sviluppo dell'analisi multifrattale ha aperto la
strada alla cosiddetta termodinamica dei sistemi caotici. Uno dei
risultati in questo campo è la possibilità di definire regioni di alta
o bassa predicibilità sull'attrattore.
Con l'espressione edge of chaos (soglia di caoticità), coniata da C.G.
Langton (1990), si indica l'insieme dei processi che accadono
nell'attimo in cui la natura del sistema subisce la transizione
ordine-disordine come risposta alla variazione del parametro di
controllo. In questa transizione il sistema si autoorganizza tramite
un'interazione globale e a tutte le scale dei suoi componenti. In
sistemi di questo tipo la dinamica è spesso generata da semplici leggi
matematiche come le mappe iterative. In relazione a tutto ciò, il
fisico e premio Nobel M. Gell-Mann ha coniato il neologismo plectics
(dal greco plektos, intrecciato), illustrando per mezzo di un solo
termine il binomio semplicità-complessità. Uno dei campi di
applicazione più interessanti di questa moderna scienza è la biologia,
in cui la complessità si riscontra, per es., nella capacità di
adattamento di un organismo rispetto al cambiamento di un parametro
ambientale esterno.
Nel campo sperimentale, l'affermarsi della teoria del caos ha dato
impulso allo studio di tecniche di analisi di segnali irregolari
osservati in natura o rilevati da esperimenti in laboratorio. Tramite
l'apparato teorico dei sistemi dinamici, la cosiddetta analisi non
lineare di serie temporali affianca alla classica analisi di Fourier
algoritmi numerici per l'identificazione e la quantificazione dei
segnali caotici, insieme a tecniche di ricostruzione dell'attrattore
del sistema. In questo campo un contributo è senza dubbio quello dello
sviluppo di strumenti non lineari come le reti neurali e gli algoritmi
genetici. Il considerevole lavoro svolto nell'ambito delle serie
temporali si propone l'analisi di metodi utili a distinguere segnali
caotici da segnali stocastici, che in concetti come quello della
complessità algoritmica, propri della teoria dell'informazione, sono
risultati essere un potente mezzo di ausilio teorico per la conoscenza
di un sistema dinamico. Immaginando di descrivere una traiettoria
tramite una stringa di numeri binari, una definizione di essa, detta di
Kolmogorov-Chaitin, corrisponde alla lunghezza del minimo programma
binario necessario a riprodurla. Dinamiche regolari, legate a sistemi
integrabili hanno complessità algoritmica minima, a differenza dei
sistemi stocastici con complessità proporzionale alla lunghezza della
stringa. Si potrebbe quindi pensare che un calcolo della complessità
algoritmica di serie temporali caotiche possa portare alla scrittura di
un algoritmo universale di previsione delle stesse. G. Chaitin ha
dimostrato l'impossibilità di tale costruzione in base al teorema di
incompletezza di K. Gödel, aprendo nuovi orizzonti al dibattito
epistemologico sulla intelligibilità dell'Universo. Molti fenomeni n
aturali sono descritti da modelli matematici in cui coesiste un
soggetto forzante esterno e una dissipazione interna. Da questo punto
di vista, risvolti 'ingegneristici' dei sistemi caotici dissipativi
trovano utilizzo in vari settori applicativi. Un esempio per tutti è la
tecnica di previsioni meteorologiche denominata Ensemble Prediction
System (EPS). Il matematico V.I. Arnol´d (1966) ha dimostrato, per
modelli semplici di moti atmosferici, che l'incertezza delle previsioni
numeriche è indipendente dalla potenza di calcolo degli elaboratori, ma
è dovuta all'alta non linearità delle equazioni fluidodinamiche. Si ha
quindi a che fare con un sistema caotico dissipativo in cui la
struttura del cosiddetto attrattore meteorologico è comunque
sconosciuta. La metodica dell'EPS si basa sull'esplorazione numerica
dell'attrattore, effettuata tramite un insieme di previsioni che
partono da condizioni iniziali dell'atmosfera prossime all'analisi
della situazione meteorologica osservata. Il grado di divergenza delle
traiettorie così generate permette di definire una probabilità sulla
certezza della previsione. Un esempio eclatante di impredicibilità è
stata la tempesta, denominata Lothar, abbattutasi in Europa alla fine
del 1999 e assolutamente non prevista dai servizi meteorologici
nazionali (fig. 4). La moderna visione dei sistemi dinamici caotici,
nata come si è visto nel campo della meccanica classica, ha avuto
interessanti estensioni nei campi della fisica moderna, come le teorie
di campo e la meccanica quantistica.Nel campo della relatività
generale, interessanti studi sulle condizioni iniziali e asintotiche
nel tempo di modelli cosmologici come gli universi di Bianchi, sono
stati condotti al fine di ricercare soluzioni caotiche per le equazioni
classiche del campo gravitazionale di A. Einstein, e di cosmologie
precedenti al Big Bang associate alla moderna teoria delle stringhe.
Nel campo della teoria quantistica, la struttura profondamente diversa
dalla meccanica classica rende particolarmente complesso il concetto di
comportamento caotico. Il principio di indeterminazione di W.K.
Heisenberg preclude la conoscenza 'puntuale' dello spazio delle fasi di
un sistema e quindi delle condizioni iniziali di esso. Dal punto di
vista della meccanica classica, immaginando di sostituire il concetto
di traiettoria con il comportamento nel tempo della funzione d'onda
descritto dall'equazione di Schrödinger, si può facilmente dimostrare
la non esistenza del caos, inteso come separazione tra due traiettorie
inizialmente vicine. Infatti, essendo l'operatore di evoluzione U per
la funzione d'onda
formula
un operatore unitario, ovvero U+U=1, si ha
formula
Mentre da una parte la 'distanza' tra due pacchetti d'onda resterà
costante nel tempo, dall'altra parte, nel contesto del paradigma
quantistico, l'interpretazione probabilistica della funzione d'onda
porta alla completa caoticità, intesa come mancanza di predicibilità,
della meccanica quantistica. A questo paradosso si è ovviato cercando
definizioni applicabili a sistemi dinamici in cui sono rilevanti
entrambi gli effetti di non linearità e quantistici.
I sistemi più frequentemente studiati sono la controparte quantistica
di sistemi caotici classici, di tipo hamiltoniano o dissipativo.
Sistemi semiclassici di questo tipo rilevano comportamenti diversi dai
sistemi regolari quantistici derivanti dai corrispettivi classici al
variare del parametro di controllo. Uno degli aspetti più interessanti
in questo campo è il diverso comportamento statistico dei livelli
quantici di energia per sistemi regolari e caotici, che ha rivelato un
inatteso legame tra il caos quantistico e l'affascinate campo della
ricerca dei numeri primi.
Bibliografia
da Enciclopedia Treccani
www.treccani.it